Library.Ru : http://www.library.ru Читальный Зал

главная библиотекам читателям мир библиотек infolook виртуальная справка читальный зал
новости библиоnet форум конкурсы биржа труда регистрация поиск по порталу


  Читателям Читальный зал Игорный бизнес

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ АЗАРТНЫХ ИГР

  При всей очевидной популярности игр в кости среди большинства слоев различных народов в течение нескольких тысячелетий вплоть до XV века, интересно отметить отсутствие каких-либо свидетельств наличия идеи статистических соотношений и теории вероятности. Французскому гуманисту XIII века Ришару де Фурнивалю приписывают авторство поэмы на латыни, один из отрывков которой содержал первый из известных подсчетов количества возможных вариантов при игре тремя костями (их имеется 216). Еще раньше в игре, изобретение которой приписывают благочестивому Уиболду (960 г.) были представлены 56 добродетелей, в которых играющий в эту религиозную игру должен был совершенствоваться, в соответствии с теми способами, какими могут выпасть в этой игре три кости, независимо от порядка (число таких сочетаний трех костей действительно 56). Однако ни Уиболд, ни Фурниваль не пытались определить относительные вероятности отдельных комбинаций. Считается, что итальянский математик, физик и астролог Джероламо Кардано первым провел математический анализ игр в кости в 1526 году. Он применил теоретическую аргументацию и собственную обширную игровую практику для создания своей теории вероятности, на основе которой давал советы ученикам, как делать ставки. Галилей возобновил исследование игр в кости в конце XVI века.
Паскаль сделал то же самое в 1654 году. И оба – по настоянию азартных игроков, раздосадованных разочарованием и большими затратами при игре в кости. Расчеты Галилея были в точности такими же, какие применили бы современные математики. Таким образом, наука о вероятностях стала, наконец, на твердый путь. Громадное развитие теория получила в середине XVII века в манускрипте Христиана Гюйгенса «De Ratiociniis in Ludo Aleae» («Размышления по поводу игр в кости»). Исторически наука о вероятностях, таким образом, обязана своим происхождением низменным проблемам азартных игр.
До эпохи Реформации люди в большинстве своем верили, что любое событие любого рода предопределено волей Божией или, если не Богом, то другой какой-либо сверхъестественной силой или конкретным существом. Такие взгляды сохранились у многих, возможно, у большинства людей – и по сей день. В те времена эти взгляды господствовали повсеместно. И математическая теория, целиком основанная на прямо противоположном утверждении, что некоторые события могут быть случайными (то есть управляемыми чистым случаем, неуправляемыми, происходящими без специальной цели), имела мало шансов быть опубликованной и одобренной. Математик М.Г. Кендэлл отметил, что «человечеству потребовалось, кажется, несколько столетий, чтобы привыкнуть к мысли о мире, в котором некоторые события происходят без причины, либо определяются причиной настолько отдаленной, что они могли бы быть с достаточной точностью спрогнозированы с помощью беспричинной модели». Идея чисто случайной деятельности лежит в основе представления о взаимосвязи случайности и вероятности.
События или последствия, которые одинаково вероятны, имеют равные шансы произойти в каждом случае. В играх, основанных на чистой случайности, каждый случай является полностью независимым, то есть каждая игра имеет ту же вероятность получения определенного результата, что и все остальные. Вероятностные утверждения применяют на практике к длинной цепи событий, а не к отдельному событию. «Закон больших чисел» является выражением того факта, что точность соотношений, выраженных в теории вероятностей, увеличивается с увеличением числа событий, но абсолютное число результатов определенного типа отклоняется от ожидаемого тем реже, чем больше число повторений. Точно предсказуемы лишь соотношения, но не отдельные события или точные суммы.
 
Случайности, вероятности
и шансы
Вероятность благоприятного исхода из всех возможностей может быть выражена следующим образом: вероятность (р) равна общему числу благоприятных исходов (f) деленному на общее число таких возможностей (t), или pf/t. Но это верно лишь для случаев, когда ситуация основана на чистой случайности и все исходы равновероятны. Например, при играх с двумя костями общее число возможных результатов составляет 36 (каждая из шести граней одной кости с каждой из шести граней второй), а число способов выбросить, скажем, семь – всего 6 (1 и 6, 2 и 5, 3 и 4, 4 и 3, 5 и 2, 6 и 1). Таким образом, вероятность получения числа 7 – 6/36 или 1/6 (или около 0,167).
В большинстве азартных игр обычно выражают идею вероятности в «соотношении против выигрыша». Это просто отношение неблагоприятных возможностей к благоприятным. Если вероятность выбросить семерку равна 1/6, тогда из каждых шести бросков «в среднем» один будет благоприятным, а пять – нет. Таким образом, соотношение против получения семерки будет пять к одному. Вероятность того, что при подбрасывании монеты выпадет «орел» – одна вторая; соотношение будет 1 к 1. Такое соотношение называется «равным». Нужно осторожно относиться к выражению «в среднем». Оно, опять-таки, относится с большой точностью лишь к большому числу случаев, но не пригодно в отдельных случаях. Общее заблуждение всех азартных игроков, называемое «доктриной повышения шансов» (или «заблуждением Монте-Карло»), состоит в предположении, будто каждая партия в азартной игре не является независимой от других и что серия результатов одного рода должна быть сбалансирована в скором времени другими возможностями. Игроками был изобретен целый ряд «систем», основанных, главным образом, на этой ошибочной посылке. Работники казино всячески способствуют применению таких систем, чтобы использовать в своих целях пренебрежение игроками строгих законов вероятности и отдельных игр.
В некоторых играх преимущество может принадлежать крупье или банкомету (лицу, которое собирает и перераспределяет ставки), или какому-либо другому участнику. Поэтому не все играющие имеют одинаковые шансы на выигрыш или на равные выплаты. Это неравенство может быть скорректировано путем поочередной смены позиций игроков в игре. Однако работники коммерческих игорных предприятий, как правило, получают прибыль, регулярно занимая выгодные позиции в игре. Они могут также взимать плату за право на игру либо изымать определенную долю банка в каждой игре. Заведение, в конечном счете, всегда должно оставаться в выигрыше. Некоторые казино вводят также правила, увеличивающие их доходы, в особенности – правила, лимитирующие величину ставок при особых обстоятельствах.
Многие азартные игры включают элементы физической тренированности или стратегии при присутствии элемента случайности. Игра Покер, как и многие другие карточные игры, является смесью случая и стратегии. Ставки на бегах и атлетических соревнованиях включают учет физических возможностей и других элементов мастерства соревнующихся. Чтобы убедить участников в том, что случаю разрешено играть важную роль в определении исхода таких игр, могут вводиться такие коррективы, как вес, препятствия и т. п., дабы дать соревнующимся примерно равные шансы на победу. Могут также вводиться поправки при выплатах таким образом, чтобы вероятность успеха и величина выплаты были обратно пропорциональны друг другу. Например, тотализатор на бегах отражает, как оцениваются участниками шансы различных лошадей. Индивидуальные выплаты велики для тех, кто ставил на выигрыш лошадей, на которых ставили немногие, и невелики в тех случаях, когда выигрывает лошадь, на которую сделано много ставок. Чем более популярен выбор, тем ниже индивидуальный выигрыш. То же правило верно и для ставок у букмекеров на атлетических соревнованиях (запрещенных в большинстве штатов США, но узаконенных в Англии). Букмекеры обычно принимают ставки на результат матча, считающегося соревнованием неравных противников, требуя, чтобы сторона, чья победа более вероятна, не просто победила, а набрала перевес в определенное количество очков. При игре в американский или канадский футбол, например, команда, которая оценивается более высоко, должна будет набрать, скажем, более десяти очков, чтобы принести равные выплаты тем, кто на нее ставил.
К сожалению, во все эти процедуры, поддерживающие влияние случая, можно вмешиваться. Мошенничество возможно и вполне вероятно во всех видах азартных игр. В большой степени позорное клеймо, наложенное на азартные игры, является результатом нечестности их организаторов, и большая часть законодательных запретов имеет целью предотвращение мошенничества. Однако усилия многих правительств были направлены, главным образом, не на предотвращение мошенничества, а на сбор возможно больших налогов с игорных предприятий. Налоги могут взиматься в зависимости от прибыли владельцев заведения или с игроков, а также прямо с оборота игорного банка или ТОТАЛИЗАТОРА.
 
Теория принятия правильных решений Теория принятия правильных решений – в известном роде, проблема самой природы. Само слово «игра» имеет множество значений. Им можно обозначить как любое занятие во время досуга, так и любую социальную активность человека. Так можно обозначить партию в шахматы или шашки, можно определить действия в сфере политики, где кандидат вступает в «игру» со своими избирателями и конкурентами. Оно может быть использовано в экономике, когда речь идет, например, о выходе на рынок. Итак, слово «игра» применимо к любому виду человеческой деятельности, который диктуется каким-либо интересом и в котором поведение индивида продиктовано размышлением, хитростью или даже мимолетным настроением. Можно сказать, что играть – значит жить или, вернее, жить – означает играть.
Таким образом, бессмысленными могут показаться поиски «теории игр». Между тем, размышление ведет человека к попыткам абстрагирования данных, которое помогает сосредоточиться на сути проблемы. Часто нужно выбирать между элементами множества возможностей, чьи исходы заранее известны. Это случай игр «в открытую» (des jeux a decouvert), как, например, партия в шашки или шахматы, где точно известны результаты перемещения каждой фигуры. Но можно и не владеть всеми данными ситуации. Таков случай игры в карты, основанной на предположении и недостаточной информации. Таким образом, здесь приходится выбирать среди множества ситуаций, чей исход известен не полностью. В этом случае приходится создавать гипотезы вероятных исходов. Выбор в такой ситуации вводит нас, в свою очередь, в очередной виток вероятностей. Ход такой игры: от вероятности к вероятности. Делая возможные предположения, сложные вероятности можно вычислять из более простых вероятностей по формуле условных вероятностей:
Pb(A) = P(A & B) / P(B),
где Рв (А) – условная вероятность события А при условии, что событие В уже произошло,
Р (В) – безусловная вероятность того, что событие В произошло,
Р (А & В) – безусловная вероятность того, что произойдут как событие А, так и событие В.
Эта же формула может быть представлена в виде формулы произведения вероятностей:
Рb(А) Р(В) Р(А & В) Рa(В) Р(А).
Аналогично существует и правило сложения вероятностей вида:
P(A V B) P(A) + Р(В) – Р(А & В),
где Р(А) и Р(В) – безусловная вероятность события А (или, соответственно, В);
Р(А V В) – безусловная вероятность того, что произойдет или событие А, или событие В;
Р(А & В) – безусловная вероятность того, что произойдут как событие А, так и событие В.
Теория вероятностей позволяет дать математическую формулу науки о поведении, когда известны вероятности различных эпизодов, которые определяют ход игры. Таким образом, теория игр пытается с помощью вероятностей или других понятий сконструировать модель, представляющую наиболее целесообразную активность человека и позволяющую установить деятельность, которая с наибольшей вероятностью приведет к желаемому исходу. Основная разница между игрой (вернее, ее моделью) и человеческой деятельностью состоит в ограниченности игры рамками времени, в то время как человеческая деятельность практически этим не лимитирована, как, например, экономическая активность. Эта разница определяет огромное препятствие применению теории игр в реальной жизни, в политэкономии, например. Таким образом, когда говорят об «игре», это означает, скорее, что имеют в виду конкретную «партию» этой «игры», имеющую начало и конец.
Игра может быть рассмотрена как схема ограниченного характера, где осуществляют себя различные воли или же различные интересы. Эти стремления могут вступать в конфликт, помогать друг другу, перекрещиваться между собой, развиваться более или менее независимо и иметь в своем распоряжении различные средства. Игра – это, в известном смысле, трагедия.
 
Теория
«дуэли»
Самое простое – это предположить, что каждый из двух игроков, А и В, имеет в своем распоряжении конечное число стратегий (tactiques). Таким образом, каждый игрок делает выбор между разными ходами, которые он оценивает в соответствии со своим пониманием. Предполагается, что система стратегий каждого игрока транзитивна, то есть если тактика А предпочтительнее тактики В, и эта последняя предпочтительнее какой-либо третьей, скажем, тактики С, для одного из игроков, то тактика А предпочтительнее тактики С. Это можно изобразить так:

Из А>В и В>С следует А>С


Рис. 1

Можно разместить тактики игроков А и В на плоской таблице, где стратегии А отражены по горизонтали, В – по вертикали. Таким образом, каждая клетка таблицы связана с одним исходом (результатом применения игроками А и В соответствующих стратегий). Здесь рассматривается случай, когда суждения (оценка игроками ситуации) всегда противоположны, то есть случай общего противоречия или чистой борьбы (la lutte pure), когда выигрыш А означает соответственно проигрыш В. Пример такой таблицы приведен на рис. 1.
Система предпочтений игрока А транзитивна и полностью организована. Так как A и В противостоят в своих умозаключениях, то знакомство (lа conndissance) с системой предпочтений А определяет и систему предпочтений В. Достаточно инвертировать порядок предпочтений игрока А. Так, если для него ab, то для игрока В – bа. Можно назначить каждому из ходов (клетке таблицы) число или номер, которым обозначить степень предпочтений этих ходов для одного из игроков; следует заметить, что клетки могут иметь одинаковые значения предпочтения, если игроку безразлична разница между соответствующими этим клеткам исходами. Значения ячеек соответствуют умозаключениям игрока А о своих ходах, самый большой номер соответствует наиболее предпочтительной ситуации. Для игрока В наиболее предпочтительна ситуация, обозначенная самыми малыми цифрами (см. рис. 2).


Рис. 2


Каждый из игроков может принять оборонительную тактику и размышлять следующим образом. Если А поймет тактику В, то есть те ячейки горизонтали, которые выберет В (это случай, когда первым играет В), он выберет на этой горизонтали наиболее высокую ячейку (ячейку с наименьшим значением). Но В способен принять это в соображение и сделать свою тактику оборонительной, то есть в игре делать наиболее высокие значения ячеек насколько возможно слабыми; он станет искать горизонталь, чей максимум минимален (так называемый «минимум максиморум»). Для рис. 2 он играет на линии r, так как (r, d) = 9. Если, напротив, В разгадает тактику А, вынужденного открыться первым, то есть именно А вновь откроет значения по вертикали с наиболее минимальными значениями, тогда он узнает, что В приведет его к ячейкам наиболее слабых значений в вертикальной колонке, выбранной А; оборонительная тактика игрока А будет состоять в поиске минимального максимума; он будет играть в соответствии с колонкой а, ибо (а, р) = 5.
Мы приходим к тому, что каждый игрок систематически прибегает к оборонительной тактике, так как он думает, что не может «схитрить», т. е. с хорошей вероятностью запутать своего противника. В этом случае две оборонительные тактики приводят обоих игроков к одной клетке. Это случай (рис. 3), где оба игрока выходят на клетку (q, с) = 7, так как 7 – наименьший максимум горизонтали и наибольший минимум вертикали. Такая пара ходов (если она есть) называется «седловая точка» игры. Таким образом, когда «седло» существует, игроки стремятся так устроиться, чтобы каждый желал только того, чтобы из нее выйти. Если такой точки нет, что случается довольно часто, то выход ищется в так называемой «смешанной» стратегии, при котором каждый из игроков применяет несколько стратегий. Но для этого нужно обмануть противника: это становится сложней, когда игра уже началась, потому что партнеры лучше узнают особенности друг друга уже в ходе игры. Шаг за шагом уловки раскрываются, и осторожность увеличивается. К тому же в некоторых играх уловка полностью раскрывается самой природой игры: это шашки, шахматы или игры, где известны кости обоих противников. Вводится «уловка» и в карточную игру в качестве законного средства борьбы, особенно это распространено в Покере, где «блеф» с которым хорошо знакомы опытные игроки, сознательно использующие его для выигрыша в тех случаях, когда объективное соотношение сил предполагает проигрыш.


Рис. 3


 
Теория «уловки» Необходимое условие для использования теории «уловки» – недостаточная информация игроков друг о друге. В этом случае «уловка» состоит в отгадывании намерений противника при условии сокрытия своих намерений: «уловка» позитивная и «уловка» негативная. Тактика каждого игрока должна быть очень гибкой, и одна и та же «уловка» не должна использоваться много раз, иначе она сама станет «тактикой» и возвратится, как бумеранг, «в лоб» использующему ее. Игрок должен стремиться модифицировать свою игру сообразно реакции своего противника, делая каждый раз наиболее удачный для данной ситуации выбор: отсюда происходит вероятность вероятностей.
Оскар Моргенштерн (род. в 1902 г.) дал пример удачного выбора из неудачной самой по себе ситуации на основе одного из рассказов о Шерлоке Холмсе. Преследуемый профессором Мориарти, тот сел в поезд, следовавший из Лондона в Дувр через Кентербери. Но, садясь в поезд, он заметил, что и Мориарти находится в поезде. Холмс знал, что, если он сойдет одновременно с Мориарти, он наверняка будет убит. Ему нужно было добраться до Дувра одному, чтобы сесть на пароход, следующий через пролив. Такова была его цель. Возникают следующие возможные варианты:
a) Холмс выходит в Дувре;
b) Холмс выходит в Кентербери;
c) Мориарти выходит в Кентербери;
d) Мориарти выходит в Дувре.
Итогом, с точки зрения Холмса, могут быть:
1) полный успех: ас
2) частичный успех: bd
3) поражение: ad или bс.

Эти три исхода, с точки зрения предпочтений Холмса, последовательно убывают как достойные выбора, последний – наихудший. Система предпочтений Мориарти противоположна системе Холмса. Сразу очевидна трудность выбора из-за недостатка информации. Решение и для Холмса, и для Мориарти – результат случайного выбора, играющий роль оборонительной тактики. Хорошо подготовленный, каждый настороженно ждет малейшего упущения противника, чтобы тотчас перейти в наступление. Но, помимо этой возможной (случайной) ошибки, случай ведет игру. Получается то, что установил Дж. фон Нойман (род. в 1903 г.). Можно математически выразить игру перед ее началом, введя вероятностные предпочтения каждого из игроков: к примеру,
Pr(a) = p; Pr(b) = l – p
Pr(c) = q; Pr(d) = l – q.
Вероятности различных исходов (ходов) высчитываются при этом с помощью правил сложных вероятностей:
Рr(ас) = р * q; Pr(bc) = (1 – р) * q;
Pr(ad) = р(1 – q); Pr(bd) = (1 – р) * (1 – q),
откуда:
Pr(ad или bc) = р(1 – q) + q(1 – р) = p + q – 2pq.
Но эти вероятности игрокам изначально не известны. Например, Холмсу не известно q, но, если бы он и знал q, его выбор не стал бы менее вероятностным. Каждый игрок действует, размышляя над возможным ходом противника, и в данный момент предыдущие расчеты хорошо воспроизводят проблему, делая для р и q мгновенную оценку вероятностей.
Каков практически порог d, для которого альтернатива «успеха» с вероятностью d и смерть с вероятностью 1 – d предпочтена «верному поражению», зависит от дерзости знаменитого английского сыщика.
Теория игр находит применение также в экономической жизни для стратегических расчетов. Но проблемы, возникающие при этом, весьма сложны.


« предыдущая глава содержание следующая глава »

главная библиотекам читателям мир библиотек infolook виртуальная справка читальный зал
новости библиоnet форум конкурсы биржа труда регистрация поиск по порталу

О портале | Карта портала | Почта: info@library.ru

При полном или частичном использовании материалов
активная ссылка на портал LIBRARY.RU обязательна

 
  Rambler's Top100
© АНО «Институт информационных инициатив»
© Российская государственная библиотека для молодежи